Método gráfico de resolución de sistemas
Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:
- Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
- Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
- Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
- En este último paso hay tres posibilidades:
- Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
- Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
- Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.
Veamos, por última vez, el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución. recordemos de nuevo el enunciado:
Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:
x + y = 600 2x - y = 0
Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:
y = -x + 600
y = 2x
Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:
| y = -x + 600 | y = 2x | ||
| x | y | x | y |
| 200 | 400 | 100 | 200 |
| 600 | 0 | 200 | 400 |
Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:
 |
Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos.
Método gráfico de resolución de sistemas
Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de
dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es
decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas
consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de
coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta
última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema
por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas
sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto,
son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan
en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única
solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que
satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible
determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común,
por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en
ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez,
por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas
rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual
nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las
rectas), luego éste será compatible indeterminado.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones
mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:
i. Se
despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
ii. Se
construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la
tabla de valores correspondientes.
iii. Se
representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
iv. En este último
paso hay tres posibilidades:
a. Si ambas
rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de
las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
b. Si ambas
rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las
respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden
ambas. Sistema compatible indeterminado.
c. Si ambas
rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.
Veamos, por última vez, el ejemplo visto en los métodos
analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método
que se use, la misma solución. recordemos de nuevo el enunciado:
Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el
doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos
a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen
600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el
doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el
siguiente sistema:
x + y = 600
2x - y = 0
Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la
incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:
y = -x + 600
y = 2x
Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular
sus tablas de valores:
y = -x + 600 y
= 2x
Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo
las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:
Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos
rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x =
200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene
200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado,
evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos.
X
|
Y
|
x
|
y
|
200
|
400
|
100
|
200
|
600
|
0
|
200
|
400
|
ejemplo
EJERCICIOS DE GEOGEBRA
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